Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}），{F_1}$為左焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，B₁，B₂分別為上、下頂點(diǎn)，若F₁，A，B₁，B₂四點(diǎn)在同一圓上，則此橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合已知可得B₁F₁⊥B₁A，即${k}_{{B}_{1}{F}_{1}}•{k}_{{B}_{1}A}=-1$，由此得到關(guān)于e的方程求解．

解答 解：如圖，

由F₁，A，B₁，B₂四點(diǎn)在同一圓上，可得
B₁F₁⊥B₁A，即${k}_{{B}_{1}{F}_{1}}•{k}_{{B}_{1}A}=-1$，
∵B₁（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），A（a，0），
∴$\frac{c}•（-\frac{a}）=-1$，即$\frac{^{2}}{ac}=\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}=1$，
∴e²+e-1=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題．