Question

【題目】某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業(yè)務所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結果如表：

辦理業(yè)務所需的時間（分）	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

從第一個顧客開始辦理業(yè)務時計時．
（1）估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務的概率；
（2）X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設Y表示顧客辦理業(yè)務所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布如下：

Y	1	2	3	4	5
P	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務”，則時間A對應三種情形：

①第一個顧客辦理業(yè)務所需時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘；

②第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘；

③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為2分鐘．

所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22

（2）解：X所有可能的取值為：0，1，2．

X=0對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過2分鐘，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；

X=1對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務所需時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為2分鐘，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；

X=2對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為1分鐘，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；

所以X的分布列為

X	0	1	2
P	0.5	0.49	0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．

【解析】（1）設Y表示顧客辦理業(yè)務所需的時間，用頻率估計概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務”，則時間A對應三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務所需時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為2分鐘，由此可求概率；（2）確定X所有可能的取值，求出相應的概率，即可得到X的分布列及數(shù)學期望．
【考點精析】關于本題考查的離散型隨機變量及其分布列，需要了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能得出正確答案．