Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總存在極值？
（Ⅲ）當(dāng)a=2時，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間[1，e]上至少存在一個x，使得h（x）＞f（x）成立，試求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意及函數(shù)解析式需用導(dǎo)函數(shù)來求其單調(diào)區(qū)間；
（II）由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可以先求出a的值，此時函數(shù)f（x）就具體了，然后代入g（x）的解析式，再利用一元3次函數(shù)存在極值的充要條件建立m的不等式即可；
（III）由題意構(gòu)建新函數(shù)F（x），這樣問題轉(zhuǎn)化為使函數(shù)F（x）在[1，e]上至少有一解的判斷．
解答：解：（Ι）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=alnx-ax-3=lnx-x-3；導(dǎo)函數(shù)為；
當(dāng)0＜x＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時x＞1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
故減區(qū)間為（1，+∞），增區(qū)間為（0，1）；
（Ⅱ）∵g（x）=x²-2x，
∴g^‘（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總存在極值，∴
解得．
所以當(dāng)m∈時，對于任意的t∈[1，2]函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總存在極值．
（Ⅲ）∴
①當(dāng)p≤0時，由x∈[1，e]得px-≤0，--2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x，使得h（x）＞f（x）成立；
②當(dāng)p＞0時，F(xiàn)'（x）=，∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，px²+p＞0，F(xiàn)'（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增．
∴．
故只要，解得．所以p的取值范圍是．
點評：（I）此題在這一問重點考查了函數(shù)上某點處的導(dǎo)函數(shù)值的幾何意義是此函數(shù)在該點處與函數(shù)相切的切線的斜率，還考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法；
（II）在此重點考查了導(dǎo)數(shù)的集合意義及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間有極值的充要條件；
（III）此處重點考查了等價轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)建一新函數(shù)，并考查了函數(shù)F（x）在定義域下恒成立問題．