如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0,1）且被x軸分成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為1:2，過(guò)點(diǎn)H（0，t）的直線于圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O。

（1）   求圓C的方程；

（2）   當(dāng)t=1時(shí)，求出直線的方程；

（3）   求直線OM的斜率k的取值范圍。

 

【答案】

 

解  （1）因?yàn)槲挥?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123264375008035/SYS201205212328295468831495_DA.files/image001.png">軸左側(cè)的圓與軸相切于點(diǎn)，所以圓心在直線上，

設(shè)圓與軸的交點(diǎn)分別為、，

由圓被軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為，得，

所以，圓心的坐標(biāo)為，

所以圓的方程為：．            …………………4分

 

 

（2）當(dāng)時(shí)，由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，

由得或，

不妨令，

因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123264375008035/SYS201205212328295468831495_DA.files/image021.png">為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)，

所以，

解得，所以所求直線方程為或．…………10分

（3）設(shè)直線的方程為，

  由題意知，，解之得，

  同理得，，解之得或． 由（2）知，也滿足題意．

所以的取值范圍是．  …………16分

 

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•臨沂一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)為A、B，離心率為
3
2
，直線x-y+l=0經(jīng)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：x=-
10
3
分別交于M，N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求線段MN長(zhǎng)度的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)線段MN長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAS的面積為l？若存在，確定點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年山東省臨沂市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)為A、B，離心率為，直線x-y+l=0經(jīng)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線分別交于M，N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求線段MN長(zhǎng)度的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)線段MN長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAS的面積為l？若存在，確定點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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