Question

已知橢圓的的右頂點(diǎn)為A，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)P，Q，直線(xiàn)AP，AQ分別與直線(xiàn)交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 橢圓方程為．（Ⅱ） 見(jiàn)解析

【解析】（Ⅰ）由離心率，過(guò)左焦點(diǎn)F（-1，0），可求得 c=1，a=2，從而可求b= 3 ，進(jìn)而可得橢圓方程；（Ⅱ） 斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為 y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，消去y 整理得．進(jìn)而可求M，N的坐標(biāo)關(guān)系，從而可證；斜率不存在時(shí)，同理可證，從而以線(xiàn)段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F

（Ⅰ）由已知 ∴ ，

∴ 橢圓方程為．——————————5分

（Ⅱ） 設(shè)直線(xiàn)方程為 ，

由    得．

設(shè)，則．—————7分

設(shè)，則由共線(xiàn)，得

   有 ．同理 ．

∴ ．——————9分

∴，即，以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F；

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)．則有,

∴ ，即，以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．

綜上所述，以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F．