Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)
（1）若a=-2時(shí)，h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求b的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）的圖象C₂交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線(xiàn)分別交C₁、C₂于點(diǎn)M，N，問(wèn)是否存在點(diǎn)R，使C₁在M處的切線(xiàn)與C₂在N處的切線(xiàn)平行？若存在，求R的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由h（x）=lnx+x²-bx，由函數(shù)的單調(diào)性知h′(x)=

1

x

+2x-b≥0，由此不等式能求出b的取值范圍．
（2）由題設(shè)條件，可設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有xR=xM=xN=

x1+x2

2

，令0＜x₁＜x₂，g′（x）=ax+b，假設(shè)R點(diǎn)存在，則

a(x1+x2)

2

+b=

2

x1+x2

，由此能推導(dǎo)出點(diǎn)R不存在．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)，
∴h（x）=lnx+x²-bx，
由h′(x)=

1

x

+2x-b≥0，
得到b≤

1

x

+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，
因?yàn)?span id="zxcty9f" class="MathJye">

1

x

+2x≥2

2

，所以b≤2

2

…..（4分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則有xR=xM=xN=

x1+x2

2

，
令0＜x₁＜x₂，g′（x）=ax+b，
假設(shè)R點(diǎn)存在，則

a(x1+x2)

2

+b=

2

x1+x2

…..（6分）
又因?yàn)?span id="d7cxd4l" class="MathJye">lnx1=

1

2

a

x

2 1

+bx1，lnx2=

1

2

a

x

2 2

+bx2，
得到

lnx1-lnx2

x1-x2

=

1

2

a(x1+x2)+b=

2

x1+x2

，
即ln

x1

x2

=2(

x1 x2 -1

x1 x2 +1

)…..（8分）
令t=

x1

x2

，設(shè)h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（0，1），
h′(t)=

(t-1)2

(t+1)2

＞0，得到h（t）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
h（t）＜h（1）=0，假設(shè)不成立，所以點(diǎn)R不存在．…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，探索滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是否存在．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)方程思想的合理運(yùn)用．