Question

1．已知$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$所成的角為$\frac{5}{6}π$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，求$|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b|$，并求$3\overrightarrow a+2\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$的夾角．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出對應(yīng)向量的模長與夾角即可．

解答 解：$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$所成的角為θ=$\frac{5}{6}π$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|cosθ=2×$\sqrt{3}$×cos$\frac{5π}{6}$=-3；
∴${（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}^{2}$=9${\overrightarrow{a}}^{2}$+12$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4${\overrightarrow}^{2}$
=9×2²+12×（-3）+4×${（\sqrt{3}）}^{2}$
=12，
∴$|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b|$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$；
又（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3×2²+2×（-3）=6，
設(shè)$3\overrightarrow a+2\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$的夾角為α，
則cosα=$\frac{（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又α∈[0，π]，
∴α=$\frac{π}{6}$，即所求的夾角為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用向量的數(shù)量積表示夾角和模長的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是正確利用向量的模長和夾角公式．