已知a，b是不相等的正實(shí)數(shù)，求證：a3+b3＞a2b+ab2．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：選作題,分析法,綜合法
分析：本題可用分析法與綜合法來解答：法一，分析法：證明使a3+b3＞a2b+ab2成立的充分條件成立．
法二，綜合法：由條件a≠b推出：a2-2ab+b2＞0，通過變形，應(yīng)用不等式的性質(zhì)可證出結(jié)論．
解答： 解：證明：法一：（分析法）a3+b3＞a2b+ab2 成立，
只需證（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立．
又因?yàn)閍＞0，故只需證a2-ab+b2＞ab成立，
而依題設(shè)a≠b，則（a-b）2＞0顯然成立，由此命題得證．
法二：（綜合法）∵a≠b，∴a-b≠0，∴a2-2ab+b2＞0，∴a2-ab+b2＞ab（*）．
而a，b均為正數(shù)，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）
∴a3+b3＞a2b+ab2 成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用分析法和綜合法證明不等式，此題還可用比較法證明，體會(huì)不同方法間的區(qū)別聯(lián)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，an+1=Sn-n+3，n∈N*，a1=2．
（Ⅰ）求證：當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，{an-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）利用錯(cuò)位相減法求出Tn，即可證明不等式
1
3
≤Tn＜
4
3
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A，B分別是直線y=
2
2
x和y=-
2
2
x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|
AB
|=
2
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+
OB
．
（1）記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C，求C的方程
（2）過點(diǎn)（
3
，0）作兩條互相垂直的直線l1，l2，與軌跡C的相交弦分別為MN，EF，設(shè)弦MN，EF的中點(diǎn)分別為G，H，求證：直線GH恒過一個(gè)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的積，即Tn=a1•a2…•an．
（1）若Tn=n2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{an}滿足Tn=
1
2
（1-an）（n∈N*），證明數(shù)列{
1
Tn
}為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列{an}共有100項(xiàng)，且滿足以下條件：
①a1•a2…•a100=2；
②a1•a2…•ak+ak+1•ak+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．
（Ⅰ）求a5的值；
（Ⅱ）試問符合條件的數(shù)列共有多少個(gè)？為什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為200萬元，生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為3000元，每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為5000元，分別寫出總成本C（萬元）、單位成本P（萬元）、銷售收入R（萬元）以及利潤(rùn)L（萬元）關(guān)于總產(chǎn)量X（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E為AA1的中點(diǎn)，O為BD1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求證：EO∥平面ABCD；
（Ⅲ）設(shè)P為正方體ABCD-A1B1C1D1棱上一點(diǎn)，給出滿足條件OP=
2
的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}（n∈N*）的各項(xiàng)滿足a1=1-3k，an=4n-1-3an-1（n≥2，k∈R），
（Ⅰ）判斷數(shù)列{an-
4n
7
}是否成等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知AB是圓O的直徑，圓O交BC于D，過點(diǎn)D作圓O的切線DE交AC于點(diǎn)E，且DE⊥AC．求證：AC=2OD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知i是虛數(shù)單位，集合A={z|z=in，n∈N*}，B={ω|ω=z1•z2，z1、z2∈A}（z1≠z2），從集合B中任取一元素，則該元素為實(shí)數(shù)的概率為
 
．

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