Question

已知sinθ+cosθ=

2

2

（0＜θ＜π），則cos2θ的值為（　　）

• A．±

  3

  2

• B．-

  3

  2

• C．

  3

  2

• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：法1：將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式展開(kāi)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出2sinθcosθ的值，再利用完全平方公式求出cosθ-sinθ的值，所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；
法2：已知等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出sin（θ+

π

4

）的值，根據(jù)θ的范圍求出θ的度數(shù)，代入所求式子計(jì)算即可求出值．

解答：解：法1：已知等式兩邊平方得：（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

1

2

，即2sinθcosθ=-

1

2

＜0，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=

3

2

，sinθ＞0，cosθ＜0，
∵0＜θ＜π，
∴sinθ-cosθ＞0，
開(kāi)方得：sinθ-cosθ=

6

2

，
即cosθ-sinθ=-

6

2

，
則cos2θ=cos²θ-sin²θ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=-

2

2

×

6

2

=-

3

2

．
法2：∵sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）=

2

2

，
即sin（θ+

π

4

）=

1

2

，且0＜θ＜π，
∴θ+

π

4

=π-

π

6

，即θ=

7π

12

，
則cos2θ=cos

7π

6

=-cos

π

6

=-

3

2

．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．