定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的奇函數(shù), 且當(dāng)x∈(0, 1)時, f (x)=.
(1)求f (x)在[-1, 1]上的解析式;
(2)證明f (x)在(—1, 0)上時減函數(shù);
(3)當(dāng)λ取何值時, 不等式f (x)>λ在R上有解?
(1) f(x)=. (2)用定義或?qū)?shù)法均可證明;(3)λ<
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)x∈(-1, 0)時, - x∈(0, 1).∴由題意可得f(-x)=.
又f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=" -" f (-x) =-. 2分
∵f(-0)= -f(0), ∴f(0)=" 0." 3分
又f(x)是最小正周期為2的函數(shù),∴對任意的x有f(x+2)= f(x).
∴f(-1)=" f(-1+2)=" f(1). 另一面f(-1)="-" f (1), ∴- f(1)=" f(1)" . ∴f(1) = f(-1)=0. 5分
∴f(x)在[-1, 1]上的解析式為 f(x)=. 6分
(2)f (x)在(—1, 0)上時的解析式為,∵,∴,又-1<x<0,∴,∴,∴,∴f (x)在(—1, 0)上時減函數(shù) 10分
(3)不等式f(x)>λ在R上有解的λ的取值范圍就是λ小于f(x)在R上的最大值.…12分
由(2)結(jié)論可得,當(dāng)x∈(-1, 0)時,有-< f(x)= -< -;
又f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(0, 1)時,有< f(x)=<;
∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪{0}∪(, ). 14分
由f(x)的周期是2;故f(x)在R上的值域是(-, -)∪{0}∪(, ) 15分
∴λ<時,不等式f(x)>λ在R上有解. 16分
考點(diǎn):本題考查了函數(shù)的性質(zhì)
點(diǎn)評:利用奇偶性求函數(shù)解析式問題要注意:(1)在哪個區(qū)間求解析式,就設(shè)在哪個區(qū)間里;(2)轉(zhuǎn)化為已知的解析式進(jìn)行代入;(3)利用的奇偶性把寫成或,從而求出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1-f(x) | 1+f(x) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應(yīng)值表:
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