Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n-4n+2，b_n=a_n-2n，
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的首項b₁及通項公式b_n；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n-4n+2，b_n=a_n-2n，可證

bn+1

bn

=

an+1-2(n+1)

an-2n

3；
（2）利用（1）和等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（3）由（1）（2）可得：a_n=b_n+2n=2n-3^n-1．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n-4n+2，b_n=a_n-2n，
∴

bn+1

bn

=

an+1-2(n+1)

an-2n

=

3an-4n+2-2(n+1)

an-2n

=3，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）解：∵b₁=a₁-2=-1．
由（1）可得：bn=-1×3n-1=-3^n-1．
（3）解：由（1）（2）可得：a_n=b_n+2n=2n-3^n-1．
∴S_n=2×

n(n+1)

2

-

3n-1

3-1

=n²+n-

1

2

(3n-1)．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式及其前n項和公式、遞推式的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．