Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點．

（1）求證：PA⊥BD；
（2）求證：平面BDE⊥平面PAC；
（3）當PA∥平面BDE時，求三棱錐E﹣BCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：由PA⊥AB，PA⊥BC，

AB平面ABC，BC平面ABC，且AB∩BC=B，

可得PA⊥平面ABC，

由BD平面ABC，

可得PA⊥BD；

（2）

解：證明：由AB=BC，D為線段AC的中點，

可得BD⊥AC，

由PA⊥平面ABC，PA平面PAC，

可得平面PAC⊥平面ABC，

又平面ABC∩平面ABC=AC，

BD平面ABC，且BD⊥AC，

即有BD⊥平面PAC，

BD平面BDE，

可得平面BDE⊥平面PAC；

（3）

解：PA∥平面BDE，PA平面PAC，

且平面PAC∩平面BDE=DE，

可得PA∥DE，

又D為AC的中點，

可得E為PC的中點，且DE= PA=1，

由PA⊥平面ABC，

可得DE⊥平面ABC，

可得S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1，

則三棱錐E﹣BCD的體積為 DES△BDC= ×1×1= ．

【解析】（1.）運用線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性質(zhì)定理即可得證；
（2.）要證平面BDE⊥平面PAC，可證BD⊥平面PAC，由（1）運用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC，運用面面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；
（3.）由線面平行的性質(zhì)定理可得PA∥DE，運用中位線定理，可得DE的長，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面積，運用三棱錐的體積公式計算即可得到所求值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想；垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．