Question

畫出方程x⁴－x²=y⁴－y²的曲線C，并解答：

(1)若點(diǎn)A(m，)在曲線C上，求m的值；

(2)求曲線C的截距；

(3)若直線y=a(aR)與曲線C分別有一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)、四個(gè)交點(diǎn)，求a的值或其取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

原方程可化為 (x2－y2)(x2+y2－1)=0 即  y=±x或x2+y2=1．故方程的曲線C如圖所示 (1)因點(diǎn)A(m，)在曲線C上， ∴(m2－2)[m2+()2－1]=0， 解之，有m=±�！　�                               (2)直線y=±x的截距為零． 圓x2+y2=1在x軸上的截距分別為－1和1，在y軸上的截距也是－1和1。 (3)解方程組得直線與圓的四個(gè)交點(diǎn)A()，B()，E()，D()，結(jié)合圖像可知： 當(dāng)直線y=a與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)： a>1或a<－1，或a=或a=， 當(dāng)直線y=a與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)： a=1或a=－1，或a=0， 當(dāng)直線y=a與曲線C有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)： 0<a<1且a≠，或－1<a<0且a≠， 由曲線的對稱性知，直線y=a與曲線C不會只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在實(shí)數(shù)a，使直線y=a與曲線C有一個(gè)交點(diǎn)。