Question

已知圓C：x²+y²=16，點(diǎn)P（3，

7

）．
（1）求以點(diǎn)P（3，

7

）為切點(diǎn)的圓C的切線所在的直線方程；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，

7

）且被圓C：x²+y²=16截得的弦長(zhǎng)為2

7

的直線方程．

Answer 1

分析：（1）算出直線OP的斜率k=

7

3

，從而由切線的性質(zhì)得切線的斜率k'=

-1

k

=-

3 7

7

，再由直線方程的點(diǎn)斜式列式，即可得到所求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的圓C的切線方程；
（2）由垂徑定理，算出直線到圓心的距離為d=3，利用點(diǎn)到直線的距離公式算出所求直線的斜率m=-

7

21

，得直線方程為x+3

7

y-24=0．再檢驗(yàn)得當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，x=3也符合題意，即可得到所求兩條直線方程．

解答：解：（1）∵圓C：x²+y²=16的圓心為O（0，0），切點(diǎn)為P（3，

7

）
∴直線OP的斜率k=

7

3

，可得切線的斜率k'=

-1

k

=-

3 7

7

因此，以點(diǎn)P（3，

7

）為切點(diǎn)的圓C的切線，
所在的直線方程為y-

7

=-

3 7

7

（x-3），化簡(jiǎn)得3x+

7

y-16=0；
（II）設(shè)所求直線方程為y-

7

=m（x-3），即mx-y+

7

-3m=0
∵圓C：x²+y²=16的半徑為r=4，
∴設(shè)直線到圓心的距離為d，則d=

r2-( 7 )2

=3
可得

| 7 -3m|

m2+1

=3，解之得m=-

7

21

，得直線方程為x+3

7

y-24=0
經(jīng)檢驗(yàn)，可得當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，x=3也符合題意
綜上所述，可得所求直線方程為x=3或x+3

7

y-24=0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求滿足條件的定圓切線和割線的方程，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．