Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足；數(shù)列{b_n}滿足
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）若a₁=1，a₂=2，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為T_n，試比較與（2n²+3n-2）•2^n-1的大�。�

Answer 1

解：（1）∵，∴2S_n=n（a₁+a_n）①
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=（n-1）（a₁+a_n-1）②
①-②得：2a_n=a₁+na_n-（n-1）a_n-1，即a₁+（n-2）a_n=（n-1）a_n-1③
進(jìn)而a₁+（n-1）a_n+1=na_n④
③-④得2（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+（n-1）a_n+1，由于n≥2，∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．（4分）
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=1，a₂=2，所以a_n=n
∵⑤
∴當(dāng)n=1時(shí)，，當(dāng)n≥2時(shí)，⑥
由⑤-⑥得：，∴，而也符合，
故a_n=n，（7分）
（3），∴T_n=1•3+2•3²+…+n•3ⁿ⑦3T_n=1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹⑧
⑦-⑧并化簡(jiǎn)得：（10分）
所以（2n²+3n-2）•2^n-1=（2n-1）[3ⁿ-（n+2）2^n-1]+1
因?yàn)?ⁿ=（2+1）ⁿ=2ⁿ+C_n¹2^n-1+…≥2ⁿ+n•2^n-1=（n+2）2^n-1
所以3ⁿ≥（n+2）2^n-1對(duì)于n∈N^*成立，
∴3ⁿ-（n+2）2^n-1≥0，又由于2n-1＞.0
所以（2n²+3n-2）•2^n-1=（2n-1）[3ⁿ-（n+2）2^n-1]+1＞0
所以（2n²+3n-2）•2^n-1（13分）
分析：（1）根據(jù)題目條件可得2S_n=n（a₁+a_n），則當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=（n-1）（a₁+a_n-1）兩式作差可得a₁+（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，進(jìn)而a₁+（n-1）a_n+1=na_n，兩式作差可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，根據(jù)等差數(shù)列數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義可求出其通項(xiàng)公式，利用遞推關(guān)系可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用錯(cuò)位相消法求出數(shù)列前n項(xiàng)和為T_n，然后利用作差可比較與（2n²+3n-2）•2^n-1的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及錯(cuò)位相消法的運(yùn)用，同時(shí)考查了利用作差比較法比較大小，屬于中檔題．