Question

如圖，在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐，AB=2，BC=3，點P∈平面CC₁D₁D，且PD=PC=

2

．
（1）證明：PD⊥平面PBC；
（2）若A₁A=2，證明：PC∥平面AB₁D；
（3）若A₁A=a，試求當a為何值時，PC∥平面AB₁D？

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面平行的性質,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）要證明PD⊥平面PBC，只需證明PD垂直于平面PBC的兩條相交直線即可，由 PD=PC=

2

可得PD⊥PC，而ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，容易證明BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，容易得到PD⊥BC，從而得證；
（2）證明PC∥C₁D，利用線面平行的判定定理，可得結論．
（3）當a=2時，PC∥平面AB₁D，利用線面平行的判定可得結論．

解答： （1）證明：因為 PD=PC=

2

，CD=AB=2，
所以△PCD為等腰直角三角形，所以PD⊥PC．
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，
所以BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，
所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．
因為PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，
由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．
（2）解：長方體中AD∥BC，AD=BC，BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，
所以AD∥B₁C₁，AD=B₁C₁
即A，D，B₁，C₁共面，
長方體中DD₁=AA₁=a=2，CD=AB=2，四邊形CC₁D₁D是一個正方形，∠C₁DC=45°，
而∠PCD=45°，且CD、C₁D與PC在同一個平面內，
所以PC∥C₁D．                                         
又C₁D?面AB₁C₁D，PC?面AB₁C₁D，
所以PC∥面AB₁C₁D，即PC∥平面AB₁D．
（3）解：當a=2時，PC∥平面AB₁D．
當a=2時，四邊形CC₁D₁D是一個正方形，所以∠C₁DC=45°，
而∠PDC=45°，所以∠PDC₁=90°，所以C₁D⊥PD．
而PC⊥PD，C₁D與PC在同一個平面內，所以PC∥C₁D．
而C₁D?面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D．

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．