過橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的中心的直線與橢圓交于A、B兩點，F(xiàn)1是橢圓的右焦點，則△ABF1的面積的最大值為
12
12
．
分析：當(dāng)AB⊥x軸時，AB為橢圓的短軸，可得S△ABF1=
1
2
|AB|•c．
當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB：y=kx，（k≠0），聯(lián)立
y=kx
x2
25
+
y2
9
=1
，可得點A，B的坐標．利用S△ABF1=
1
2
|y1-y2|•c即可得出．
解答：解：由橢圓
x2
25
+
y2
9
=1，可得a2=25，b2=9，∴c=
a2-b2
=4．
①當(dāng)AB⊥x軸時，AB為橢圓的短軸，∴S△ABF1=
1
2
|AB|•c=
1
2
×2b•c=3×4=12．
②當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB：y=kx，（k≠0），
聯(lián)立
y=kx
x2
25
+
y2
9
=1
，化為（9+25k2）x2=225，
解得x=±
15
9+25k2
．得到y(tǒng)=±
15k
9+25k2
．
∴S△ABF1=
1
2
|y1-y2|•c=
15|k|
9+25k2
×4=
60
9
k2
+25
＜
60
5
=12．
綜上可知：△ABF1的面積的最大值為12．
點評：熟練掌握直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得出交點坐標、分類討論思想方法是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)過橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的右焦點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，橢圓上不同的兩點A（x1，y1），C（x2，y2）滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，則弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②以過拋物線的焦點的一條弦AB為直徑作圓，則該圓與拋物線的準線相切；
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1與橢圓
x2
35
+y2=1有相同的焦點．
其中真命題的序號為
 
（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下三個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個定點，K為非零常數(shù)，若|PA|-|PB|=K，則動點P的軌跡是雙曲線．
②方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
③雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1與橢圓
x2
35
+y2=1有相同的焦點．
④已知拋物線y2=2px，以過焦點的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準線相切
其中真命題為
②③④
②③④
（寫出所以真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的右焦點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B橢圓上不同的兩點A（x1，y1）B（x2，y2）滿足條件：|F2A||F2B||F2C|成等差數(shù)列，則弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）橢圓
x2
25
+
y2
16
=1的左，在焦點分別是F1，F(xiàn)2，弦AB過F1，若△ABF的面積是5，A，B兩點的坐標分別是（X1，Y1），（X2，Y2），則|Y1-Y2|的值為（　　）

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