Question

【題目】若二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c滿足f（2）=f（﹣2），且函數(shù)的f（x）的一個(gè)根為1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對任意的x∈[ ，+∞），方程4mf（x）+f（x﹣1）=4﹣4m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（2）=f（﹣2）且f（1）=0，函數(shù)的f（x）的一個(gè)根為1，b+c=0，

f（2）=f（﹣2）可得：4+2b+c=4﹣2b+c，

∴b=0，c=﹣1，

∴f（x）=x2﹣1．

（2）解：由題意知：4m2（x2﹣1）+（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4≥0在 上有解，

整理得 在 上有解，

令g（x）= ，

∵ ，∴

當(dāng) 時(shí)，函數(shù)g（x）得最大值 ，

所以

【解析】（1）利用函數(shù)的零點(diǎn)，即可求函數(shù)f（x）的解析式；（2）由題意可得4m2（x2﹣1）+（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4≥0在 上有解，反例變量，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．