Question

（2006•西城區(qū)二模）如圖，正四棱錐S-ABCD中，E是側(cè)棱SC的中點，異面直線SA和BC所成角的
大小是60°．
（1）求證：直線SA∥平面BDE；
（2）求二面角A-SB-D的大小；
（3）求直線BD和平面SBC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連AC交BD于點O，連結(jié)SO，OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OS所在直線為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，在平面BDE內(nèi)找一向量使得向量

SA

與其共線，則可證明線面平行；
（2）分別求出二面角A-SB-D的兩個半平面所在平面的法向量，利用法向量所成的角求解二面角的大小；
（3）求出平面SBC的一個法向量，利用向量

BD

與法向量所成的角求直線BD和平面SBC所成角的大�。�

解答：（1）證明：連AC交BD于點O，連結(jié)SO，OE．
根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，得SO⊥面ABCD．以O(shè)A、OB、OS所在射線分別作為非負(fù)x軸、非負(fù)y軸、非負(fù)z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
因為異面直線SA和BC所成角的大小是60°，AD∥BC，所以∠SAD=60°，
因而△SDA是等邊三角形，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，得△SDC，△SBA，△SBC也是等邊三角形．設(shè)AB=a，
則A(

2

2

a，0，0)，S(0，0，

2

2

a)，E(-

2

4

a，0，

2

4

a)，B(0，

2

2

a，0)
因為

.

AS

=(-

2

2

a，0，

2

2

a)，

.

OE

=(-

2

4

a，0，

2

4

a)，所以

.

AS

=2

.

OE

，所以AS∥OE．

又OE?面BDE，AS?面BDE，
所以AS∥面BDE．
（2）設(shè)

n1

=(x1，y1，z1)是平面SAB的法向量．
則由

n1 • . AS =0 n1 • . AB =0

，得

- 2 2 ax1+ 2 2 az1=0 - 2 2 ax1+ 2 2 ay1=0

取x₁=1，得

n1

=(1，1，1)．
因為OA⊥SO，且OA⊥BD，所以

.

OA

是平面SBD的法向量．
則cos＜

n1

，

.

AO

＞=

n1 • . OA

| n1 |•| . AO |

=

2 2 a

3 • 2 2 a

=

3

3

．
所以二面角A-SB-D的大小是arccos

3

3

．
（3）設(shè)

n2

=(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量．
則由

n2 • SB =0 n2 • BC =0

，得

2 2 ay2- 2 2 az2=0 - 2 2 ax2- 2 2 ay2=0

，取x₂=1，得

n2

=(1，-1，-1)，
又

BD

=(0，-

2

a，0)．則cos＜

BD

，

n2

＞=

BD • n2

| BD |•| n2 |

=

2 a

2 a• 3

=

3

3

，
設(shè)BD和平面SBC所成的角的大小為α，則sinα=

3

3

，
即直線BD和平面SBC所成的角為arcsin

3

3

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了線面角和二面角的求法，利用空間向量求空間角的大小能起到事半功倍的效果，是中檔題．