Question

已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面SAB是等邊三角形，側(cè)面SCD是以CD為斜邊的直角三角形，E為CD的中點(diǎn)，M為SB的中點(diǎn)．
（1）求證：CM∥平面SAE；
（2）求證：SE⊥平面SAB；
（3）求三棱錐S-AED的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取SA的中點(diǎn)N，連接MN．△ASB中利用中位線定理，證出MN∥AB且MN=AB，而正方形ABCD中E為CD中點(diǎn)，可得CE∥AB且CE=AB，從而得到CENM為平行四邊形，得CM∥EN．最后用線面平行的判定定理，即可證出CM∥平面SAE；
（2）Rt△SCD中，E為斜邊中點(diǎn)，可得SE=CD=1．△ESA中算出SE²+SA²=5=AE²，從而得到ES⊥SA，同理△ESB中證出ES⊥SB，結(jié)合SA、SB是平面SAB內(nèi)的相交直線，可證出SE⊥平面SAB．
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得S_△AED=S_△ABE，從而得到V_S-AED=V_S-AEB=V_E-SAB，由（2）得SE是三棱錐E-SAB的高，從而算出V_E-SAB=，由此即可得到V_S-AED=V_E-SAB=．
解答：解：（1）取SA的中點(diǎn)N，連接MN，
∵M(jìn)為SB的中點(diǎn)，N為SA的中點(diǎn)，∴MN∥AB，且MN=AB，
又E是CD的中點(diǎn)，∴CE∥AB，且CE=AB，
∴MN∥CE，且MN=CE，∴四邊形CENM為平行四邊形，
∴CM∥EN，又EN?平面SAE，CM?平面SAE，
∴CM∥平面SAE．
（2）∵側(cè)面SCD為直角三角形，∠CSD=90°，E為CD的中點(diǎn)，
∴SE=CD=1，
又∵SA=AB=2，AE=，
∴SE²+SA²=5=AE²，可得ES⊥SA，同理可證ES⊥SB，
∵SA∩SB=S，SA、SB?平面SAB，∴SE⊥平面SAB．
（3）根據(jù)題意，得V_S-AED=V_S-AEB=V_E-SAB，
∵SE⊥平面SAB，可得SE是三棱錐E-SAB的高
∴V_E-SAB=S_△SAB×SE==
因此，三棱錐S-AED的體積為V_S-AED=V_E-SAB=×=．
點(diǎn)評(píng)：本題在四棱錐中證明線面平行、線面垂直，并求三棱錐的體積．著重考查了空間直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定定理和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．