Question

已知數(shù)列{a_n}滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為，試求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，試證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由a_n-1a_n+a_na_n+1=2a_n-1a_n+1，兩邊同除以a_na_n-1a_n+1即可．而，故是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（II）利用b_n=即可得到b_n，可得=，利用“錯(cuò)位相減法”即可得到T_n；
（III）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124235343243730/SYS201310251242353432437018_DA/6.png">．利用“累乘求積”即可得出=．進(jìn)而即可證明．
解答：解：（Ⅰ）由
．
而，
因此是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
從而．
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，．
當(dāng)n≥2時(shí)，．
而b₁也符合上式，故，從而：．
所以．
將上面兩式相減，可得：．
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124235343243730/SYS201310251242353432437018_DA/21.png">．
故．
由于n≥2，n∈N^*，故，從而，即．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的處理、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和求通項(xiàng)以及“錯(cuò)位相減法”、“累乘求積”等基礎(chǔ)知識(shí)，突出考查了學(xué)生變形的能力，化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識(shí)，是一道十分重視基礎(chǔ)但又有比較好區(qū)分度的中等題．