Question

已知函數(shù)f（x）=

2x2-3x，x＞0 a ex ，x＜0

的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[-3，1]
• B、（-3，1）
• C、[-

  e

  ，9e²]
• D、[-e-

  1

  2

  ，9e^-3]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若函數(shù)f（x）=

2x2-3x，x＞0 a ex ，x＜0

的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)y=

a

ex

，x＜0的圖象關(guān)于y軸對稱變換后，與y=2x²-3x，x＞0的圖象有交點(diǎn)．即a=

2x2-3x

ex

有正根，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法求出g（x）=

2x2-3x

ex

的最值，可得答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

2x2-3x，x＞0 a ex ，x＜0

的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，
則函數(shù)y=

a

ex

，x＜0的圖象關(guān)于y軸對稱變換后，與y=2x²-3x，x＞0的圖象有交點(diǎn)，
即ae^x=2x²-3x有正根，
即a=

2x2-3x

ex

有正根，
令g（x）=

2x2-3x

ex

，
則g′（x）=

-2x2+7x-3

ex

，
令g′（x）=0，則x=

1

2

，或x=3，
由0＜x＜

1

2

或x＞3時，g′（x）＜0，由

1

2

＜x＜3或x＞3時，g′（x）＞0，
可知當(dāng)x=

1

2

時，g（x）取極小值-e-

1

2

，當(dāng)x=3時，g（x）取極大值9e^-3，
又由當(dāng)x→0或x→+∞時，g（x）→0，
故當(dāng)x=

1

2

時，g（x）取最小值-e-

1

2

，當(dāng)x=3時，g（x）取最大值9e^-3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-e-

1

2

，9e^-3]．
故選：D

點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)法求最值，其中將問題轉(zhuǎn)化為a=

2x2-3x

ex

有正根，是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．