Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=log₂（x+1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m）＜-2，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵x＞0時，f（x）=log₂（x+1），
∴當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=log₂（-x+1），
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=log₂（-x+1），
即f（x）=-log₂（1-x），又f（0）=0，
∴f（x）=…6分
（Ⅱ）∵x＞0時，f（x）=log₂（x+1）＞0，f（0）=0，
∴f（m）＜-2?到-log₂（1-m）＜-2，
∴l(xiāng)og₂（1-m）＞2，
∴1-m＞4，
∴m＜-3…12分
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可求得當(dāng)x＜0時的解析式，結(jié)合f（0）=0即可得到函數(shù)f（x）定義在R上的解析式；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的解析式即可得到log₂（1-m）＞2，從而可求得實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性，求得x＜0時的解析式是關(guān)鍵，屬于中檔題．