Question

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，，，AC=2，A₁C₁=1，．
（Ⅰ）證明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求AA₁與平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，0，0），，C（0，2，0），，，
∵BD：DC=1：2，
∴．
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為．
∴，
．，
∵，，
∴BC⊥AA₁，BC⊥AD，又A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AD，又BC?平面BCC₁B₁，
∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）設(shè)平面BCC₁B₁的法向量為=（x，y，z），則，
•=0即，
取，
解得=
因此：AA₁與平面BCC₁B₁所成角的正弦值為．
分析：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求數(shù)量積得到線線垂直，進(jìn)而推知面面垂直，
（Ⅱ）先求得平面BCC₁B₁的一個(gè)法向量，再利用向量法求線面角公式求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要是用向量的方法來證明線線垂直，體現(xiàn)垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，同時(shí)反映出用向量法求角的優(yōu)越性．