Question

設(shè)，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.

Answer 1

同下

解析:

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x²＋|lnx－1|．

當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f(x)＝x²－lnx＋1，f ??(x)＝2x－． ……………………………………2分

令x＝1得f(1)＝2，f ??(1)＝1，所以切點(diǎn)為(1，2)，切線的斜率為1．

所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為x－y＋1＝0． …………………………………5分

（2) ①當(dāng)x≥e時(shí)，f(x)＝x²＋alnx－a，f??(x)＝2x＋（x＞e）．

因?yàn)?i>a＞0，所以f??(x)＞0恒成立．所以f(x)在[e，＋∞)上為增函數(shù)．

故當(dāng)x＝e時(shí)，y_min＝f(e)＝e²． ………………………………………………………………7分

②當(dāng)x≤e，即x∈[1，e]時(shí)，

f(x)＝x²－alnx＋a，f ??(x)＝2x－＝(x＋)(x－)（1＜x＜e）．

(i)當(dāng)≤1，即0＜a≤2時(shí)，f ??(x)在x∈（1，e）時(shí)為正數(shù)，所以f(x)在[1，e]上為增函數(shù)．故當(dāng)x＝1時(shí)，y_min＝1＋a，且此時(shí)f(1)＜f(e)．

(ii)當(dāng)1＜＜e，即2＜a＜2e²時(shí)，f ??(x)在x∈(1，)時(shí)為負(fù)數(shù)，在x∈(，e)時(shí)為正數(shù)，所以f(x)在[1，)上為減函數(shù)，在(，e]上為增函數(shù)．

故當(dāng)x＝時(shí)，y_min＝－ln，且此時(shí)f()＜f(e)．

(iii)當(dāng)≥e，即a≥2e²時(shí)，f ??(x) 在x∈(1，e)時(shí)為負(fù)數(shù)，所以f(x)在[1，e]上為減函數(shù)．在故當(dāng)x＝e時(shí)，y_min＝f(e)＝e²．………………………………………………………………13分

綜上所述，

當(dāng)a≥2e²時(shí)，f(x)在x≥e時(shí)和1≤x≤e時(shí)的最小值都是e²，所以此時(shí)f(x)的最小值f(e)＝e²；

當(dāng)2＜a＜2e²時(shí)，f(x)在x≥e時(shí)最小值為e²，在1≤x≤e時(shí)，最小值為f()＝－ln()，

而f()＜f(e)，所以此時(shí)f(x)的最小值f()＝－ln．

當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f(x)在x≥e時(shí)最大值為e²，在1≤x≤e時(shí)最小值為f(1)＝1＋a，而f(1)＜f(e)，所以此時(shí)f(x)的最小值為f(1)＝1＋a．

所以函數(shù)y＝f(x)的最小值為y_min＝……………………16分