Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx．其中常數(shù)a＞0．
（1）當a＞2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當a=4時，給出兩類直線：6x+y+m=0與3x-y+n=0，其中m，n為常數(shù)，判斷這兩類直線中是否存在y=f（x）的切線，若存在，求出相應的m或n的值，若不存在，說明理由．
（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x₀時，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”，當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

，能求出當a＞2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）a=4，f′（x）=2x+

4

x

-6，故f′(x)=2x+

4

x

-6≥4

2

-6，不存在6x+y+m=0這類直線的切線．
（3）y=g(x)=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)+

x

2 0

-6x0+4lnx0，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能夠求出一個“類對稱點”的橫坐標．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

，
∵a＞2，∴

a

2

＞1．
當0＜x＜1及x＞

a

2

時，f′（x）＞0．當1＜x＜

a

2

時，f′（x）＜0，
∴f（x）的增區(qū)間是（0，1），（

a

2

，+∞）．
（2）a=4，f′（x）=2x+

4

x

-6，
∵x＞0，∴f′(x)=2x+

4

x

-6≥4

2

-6，
不存在6x+y+m=0這類直線的切線．
由2x+

4

x

-6=3得x=

1

2

與x=4，當x=

1

2

時，求得n=-

17

4

-4ln2．
當x=4時，求得n=4ln4-20．
（3）y=g(x)=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)+

x

2 0

-6x0+4lnx0，
令h（x）=f（x）-g（x）=x2-6x+4lnπ-(2x0+

4

x0

-6)•（x-x₀）-（x02-6x0+4lnx0），
則h（x₀）=0，
h′(x)=2x+

4

x

-6-(2x0+

4

x0

-6）=2（x-x₀）（1-

2

x0x

）=

2

x0

（x-x₀）（x₀-

2

x

），
當x0＜

2

時，h（x）在（x₀，

2

x0

）上單調(diào)遞減．
∴x∈（x0，

2

x0

）時，h（x）＜h（x₀）=0，從而有x∈（x0，

2

x0

）時，

h(x)

x-x0

＜0，
當x0＞

2

時，h（x）在（

2

x0

，x0）上單調(diào)遞減，
∴x∈（

2

x0

，x0）．
h（x）＞h（x₀）=0．從而有x∈(

2

x0

，x0)時，

h(x)

x-x0

＜0．
∴在(0，

2

)∪(

2

，+∞)上不存在“類對稱點”．
當x₀=

2

時，h′(x)=

2

x

(x-

2

)2，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，故

h(x)

x-x0

＞0，
x=

2

是一個類對稱點的橫坐標．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查類對稱點的求法．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．