Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x+m}{x}$（m∈R）．
（1）當(dāng)m=1時，解不等式f（x）≥2；
（2）若f（x）≤lnx在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可以轉(zhuǎn)換為二次不等式x（x-1）＜0，利用二次不等式進(jìn)行求解
（2）把恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題，求xlnx-x的最小值即可

解答 解：（1）當(dāng)m=1時，
$\frac{x+1}{x}$≥2，
∴$\frac{x-1}{x}$≤0，
∴x（x-1）≤0 （x≠0），
∴不等式的解集為（0，1]．
（2）$\frac{x+m}{x}≤lnx（x＞0）?m≤xlnx-x$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=xlnx-x，則 g'（x）=lnx，
顯然：0＜x＜1時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；x＞1時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以：g（x）_min=g（1）=-1，
所以：m≤-1．

點評 考查了二次不等式和恒成立問題．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值時�？碱}型，需熟練掌握．