已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為數(shù)學(xué)公式的橢圓過點(diǎn)(數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l:y=kx+m(k≠0),與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn),直線OP、OQ的斜率依次為k1、k2,滿足4k=k1+k2
①求證:m2為定值,并求出此定值;
②求△OPQ面積的取值范圍.

解:(1)由題設(shè)條件,設(shè)c=,a=2k,則b=k,
∴橢圓方程為,
把點(diǎn)(,)代入,得k2=1,
∴橢圓方程為
(2)①由,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,

∵直線OP,OQ的斜率依次為k1,k2,
,
∴2kx1x2=m(x1+x2),由此解得,驗(yàn)證△>0成立.
,令,

∴S△OPQ∈(0,1).
分析:(1)由題設(shè)條件,設(shè)c=,a=2k,則b=k,橢圓方程為,把點(diǎn)(,)代入,得k2=1,由此能求出橢圓方程.
(2)①由,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,.直線OP,OQ的斜率依次為k1,k2,由此解得
,令,得,由此能求出△OPQ面積的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的方程和求法和直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線為mx-y=0,若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一個(gè)值,使得雙曲線的離心率大于3的概率是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大興區(qū)一模)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率為
3
2
,實(shí)軸長(zhǎng)為4,則雙曲線的方程是
x2
4
-
y2
5 
=1
x2
4
-
y2
5 
=1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C,過點(diǎn)P(2,
3
)且離心率為2,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
3
-
y2
9
=1
x2
3
-
y2
9
=1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•合肥模擬)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線的方程為y=
1
2
x
,則此雙曲線的離心率為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的一條漸近線方程為
3
x-y=0
,則該雙曲線的離心率為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案