Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a₂=2，且點（S_n，S_n+1）在直線y=kx+1上．
（1）求k的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若不等式對一切正整數(shù)n和實數(shù)λ均恒成立，求整數(shù)m的最小值．

Answer 1

解：（1）∵點（S_n，S_n+1）在直線y=kx+1上，
故S_n+1=kS_n+1．
n=1時，a₁+a₂=ka₁+1
又a₁=1，a₂=2，則1+2=k+1，∴k=2；
（2）由（1）知S_n+1=2S_n+1①
當n≥2時，S_n=2S_n-1+1②
①-②得a_n+1=2a_n（n≥2）
又a²=2a₁，易見a_n≠0（n∈N₊），∴=2（n∈N₊）
故{a_n}成等比數(shù)列．
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1．
（3）∵
在n≥3時，單調(diào)遞增
在1≤n≤2時，單調(diào)遞減
∴當n=2或3時，有最小值為
又不等式，對一切n∈N*恒成立．
∴，
對一切λ∈R恒成立．
∴，
∴整數(shù)m的最小值為-4．
分析：（1）根據(jù)點在直線上，把點的坐標代入直線方程，得到兩者之間的關(guān)系，給出當n=1時的結(jié)果，用待定系數(shù)法求出變量的值．
（2）根據(jù)所給的前n項和之間的關(guān)系，仿寫一個關(guān)系式，兩式相減得到通項之間的關(guān)系，從而得到數(shù)列是等比數(shù)列，注意驗證首相是否符合．
（3）構(gòu)造新的函數(shù)，注意函數(shù)的單調(diào)性，特殊項進行驗證，把函數(shù)式進行整理，變?yōu)楹瘮?shù)的恒成立問題，二次函數(shù)大于零恒成立，問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題，利用判別式解決．
點評：數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項與數(shù)集中元素的異同 因此在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性．