Question

對(duì)于給定的以下四個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①函數(shù)f(x)=

x2-2x

x-2

是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函數(shù)，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂則一定有f（x₁）＜f（x₂）；
③函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)有f(x)=

x

+1，則當(dāng)x＜0，f（x）=-

-x

-1；
④函數(shù)y=x+

1-2x

的值域?yàn)閧y|y≤1}．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由f(x)=

x2-2x

x-2

=x（x≠2）的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，可得函數(shù)是非奇非偶函數(shù)
②例如y=sinx在（0，，

1

2

π），（2π，

5π

2

）上單調(diào)遞增，取x1=

π

4

，x2=

9π

4

，但是f（x₁）=f（x₂），
③函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)有f(x)=

x

+1，則當(dāng)x＜0，-x＞0，則可得f（x）=-f（-x）可求
④函數(shù)y=x+

1-2x

，令t=

1-2x

則x=

1-t2

2

，且t≥0，從而有y=

1-t2

2

+t=-

1

2

(t2-2t-1)=-

1

2

(t-1)2+1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：①∵f(x)=

x2-2x

x-2

=x（x≠2）的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，①錯(cuò)誤
②函數(shù)f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函數(shù)，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂則一定有f（x₁）＜f（x₂）錯(cuò)誤，例如y=sinx在（0，，

1

2

π），（2π，

5π

2

）上單調(diào)遞增，取x1=

π

4

，x2=

9π

4

，但是f（x₁）=f（x₂），故②錯(cuò)誤．
③函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)有f(x)=

x

+1，則當(dāng)x＜0，-x＞0，則可得f（x）=-f（-x）=-

-x

-1，故③正確
④函數(shù)y=x+

1-2x

，令t=

1-2x

則x=

1-t2

2

，且t≥0，
∴y=

1-t2

2

+t=-

1

2

(t2-2t-1)=-

1

2

(t-1)2+1
當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)有最大值1，即函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≤1}故④正確
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判定，解題中不要漏掉函數(shù)定義域的考慮，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，及由奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)解析式，利用換元法求解函數(shù)的值域，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．