設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求證：數(shù)列{an-
1
2
}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an；
（2）求{an}的前n項和Sn．
分析：（1）由an=
1
3
an+
1
3
，兩邊減去
1
2
，構(gòu)造得出an-
1
2
=
1
3
(an-1-
1
2
)（n∈N*，n≥2），即可證明數(shù)列{an-
1
2
}是以
1
3
為公比的等比數(shù)列，通過求出{an-
1
2
}的通項，求出數(shù)列{an}的通項an；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用分組求和：分成等比數(shù)列{(
1
3
)n}與常數(shù)列{
1
2
}的和計算求解
解答：解：（1）由an=
1
3
an+
1
3
，兩邊減去
1
2
得an-
1
2
=
1
3
(an-1-
1
2
)（n∈N*，n≥2）
根據(jù)等比數(shù)列的定義，可知數(shù)列{an-
1
2
}是以
1
3
為公比的等比數(shù)列，又首項為a1-
1
2
=
5
6
-
1
2
=
1
3

所以an-
1
2
=(
1
3
)n，所以an=
1
2
+(
1
3
)n
（2）可以分成等比數(shù)列{(
1
3
)n}與常數(shù)列{
1
2
}的和．由分組求和得Sn=
1
3
(1-(
1
3
)n)
1-
1
3
+
1
2
n=
1
2
-
1
2
(
1
3
)n+
1
2
n
點評：本題考查等比數(shù)列的判定、通項公式求解．考查變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c為實數(shù)
（1）證明：an∈[0，1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；
（2）設(shè)0＜c＜
1
3
，證明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）設(shè)0＜c＜
1
3
，證明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，當(dāng)x1、x2∈R且x1+x2=1時，總有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）設(shè)數(shù)列an滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c為實數(shù)，且c≠0
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式
（Ⅱ）設(shè)a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1對任意n∈N*成立，求實數(shù)c的范圍．（理科做，文科不做）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)n∈N*，不等式組
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域為Dn，把Dn內(nèi)的整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）按其到原點的距離從近到遠(yuǎn)排列成點列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求證：n≥2時，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的條件下，比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)與4的大�。�

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