設函數(shù)f(x)=log
1
2
x+1
x-1
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若x∈[3，+∞）時，不等式f(x)＞(
1
2
)x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
由
x+1
x-1
＞0得x＞1或x＜-1，又f(-x)=log
1
2
-x+1
-x-1
=-f(x)，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（2）不妨設u(x)=
x+1
x-1
，1＜x1＜x2，則u(x1)-u(x2)=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
，∵1＜x1＜x2，∴x1-1＞0，x2-1＞0，x2-x1＞0，∴u(x1)-u(x2)=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
＞0，∴u（x1）＞u（x2），
又f(x)=log
1
2
u(x)，∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由題意，x∈[3，+∞）時，不等式f(x)＞(
1
2
)x+m恒成立，等價于f(3)-(
1
2
)3＞m，解得m＜-
9
8
．
練習冊系列答案
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