Question

（本題滿分12分）如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，M為CD的中點．

（Ⅰ）求點M的軌跡方程；

（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)，使，且P點到A、B 的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；

（Ⅲ）過的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)點的坐標(biāo)為，則從而可得和的坐標(biāo),根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0可得關(guān)于的方程,即點的軌跡方程．（Ⅱ）設(shè),由可得,代入（Ⅰ）中所得點的軌跡方程可得點的軌跡方程．可知點的軌跡是以為焦點的橢圓但去掉長軸兩個端點．由橢圓中關(guān)系式可得的值．（Ⅲ）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去可得關(guān)于的一元二次方程．由韋達(dá)定理可得兩根之和,兩根之積．從而可求得三角形面積,再用配方法求其最值．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）設(shè)點的坐標(biāo)為，則

又由AC⊥BD有，即，

∴． （4分）

（Ⅱ）設(shè)，則，代入M的軌跡方程有

即，∴的軌跡為橢圓（除去長軸的兩個端點）．

要到的距離之和為定值，則以為焦點，故．

∴ 從而所求P的軌跡方程為． 9分

（Ⅲ）易知的斜率存在，設(shè)方程為 聯(lián)立，有

設(shè)，則

令，則且

，

所以當(dāng)，即也即時，面積取最大值，最大值為． 12分 www.ks5u.com

考點：1軌跡問題;2橢圓的定義,簡單幾何性質(zhì);3直線與橢圓的位置關(guān)系．