Question

已知P、Q、M、N四點(diǎn)都在中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為

2

2

，左焦點(diǎn)為F（-1，0）的橢圓C上，已知

PF

與

FQ

共線，

MF

與

FN

共線，

PF

•

MF

=0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試用直線PQ的斜率k（k≠0）表示四邊形PMQN的面積S，求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓方程，利用離心率為

2

2

，左焦點(diǎn)為F（-1，0）的橢圓C上，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出|PQ|，|MN|，表示出面積，利用基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則a²=b²+c²
∵c=1，

c

a

=

2

2

∴a=

2

，b=1
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由題意，PQ與MN垂直于F，設(shè)PQ的方程為y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，可得
（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

同理，|MN|=

2 2 (1+k2)

2+k2

∴S_PMQN=

1

2

|PQ||MN|=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2k2+ 2 k2 +5

≥

16

9

當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，取等號(hào)
∴四邊形PMQN的面積的最小值為

16

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．