設(shè)函數(shù)f(x)=
1
2
x
2
 
+2x+klnx，其中k≠0．
（1）當(dāng)k＞0時(shí)，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）討論f（x）的極值點(diǎn)．
分析：先求導(dǎo)數(shù)f′(x)=
(x+1)2+k-1
x
，（1）當(dāng)k＞0時(shí)，可得導(dǎo)數(shù)恒正，故在定義域上單調(diào)遞增；
（2）分類討論，當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）=0在（0，+∞）沒(méi)有根，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)k＜0時(shí)，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根x0=
1-k
-1，由極值的定義可得答案．
解答：解：f′(x)=x+2+
k
x
=
x2+2x+k
x
=
(x+1)2+k-1
x
…（3分）
（1）當(dāng)k＞0時(shí)，f′(x)=x+2+
k
x
＞0在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
（2）函數(shù)的定義域是（0，+∞）．
令f′(x)=
(x+1)2+k-1
x
=0，得（x+1）2=1-k≥（0+1）2=1，所以
當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）=0在（0，+∞）沒(méi)有根，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)k＜0時(shí)，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根x0=
1-k
-1，
因?yàn)樵冢?，x0）上f′（x）＜0，在（x0，+∞）上f′（x）＞0，
所以x0是f（x）唯一的極小值點(diǎn)．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題為導(dǎo)數(shù)和極值的綜合應(yīng)用，涉及分類討論的思想，屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x-7 (x＜0)
x
 (x≥0)
，若f(a)＜1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、（-∞，-3）
B、（1，+∞）
C、（-3，1）
D、（-∞，-3）∪（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x-1，x≥0
x2，x＜0
與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x (x≤0)
x
1
2
     (x＞0)
，若f（x0）＞2，則x0的取值范圍是（　　）
A、（-1，4）
B、（-1，+∞）
C、（4，+∞）
D、（-∞，-1）∪（4，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x-3(x≤0)
x
1
2
(x＞0)
，已知f（a）＞1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x+1(x＜-1)
-x2+2(-1≤x≤2)
3x-8(x＞2)
．
（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)谙铝兄苯亲鴺?biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的圖象，試分別寫出關(guān)于x的方程f（x）=t有2，3，4個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，相應(yīng)的實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）記函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，則稱點(diǎn)（x0，x0）為函數(shù)g（x）圖象上的不動(dòng)點(diǎn)．試問(wèn)，函數(shù)f（x）圖象上是否存在不動(dòng)點(diǎn)，若存在，求出不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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