Question

15．如圖所示，在四棱錐A-BCDE中，AE⊥面EBCD且四邊形EBCD是菱形，∠BED=120°，AE=BE=2，F(xiàn)是BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面AEF⊥平面ABC；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在由B向C移動(dòng)的過程中能否存在一個(gè)位置使得二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$，若存在，求出BF的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由線面垂直得BC⊥AE，由菱形性質(zhì)得EF⊥BC，由此能證明平面AEF⊥平面ABC．
（2）解：以E為原點(diǎn)，以過平面BCDE中點(diǎn)E作ED的垂線為x軸，以ED為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能過河卒子 同當(dāng)BF=0時(shí)，使得二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$．

解答 （1）證明：∵在四棱錐A-BCDE中，AE⊥面EBCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥AE，
∵四邊形EBCD是菱形，∠BED=120°，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴EF⊥BC，
∵AE∩EF=E，∴BC⊥平面AEF，
∵BC?平面ABC，∴平面AEF⊥平面ABC．
（2）解：以E為原點(diǎn)，以過平面BCDE中點(diǎn)E作ED的垂線為x軸，以ED為y軸，EA為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BF=t（0≤t≤2），由已知得：
A（0，0，2），F(xiàn)（$\sqrt{3}$，t，0），D（0，2，0），E（0，0，0），
$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}，t$，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-2），
設(shè)平面ADF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=\sqrt{3}x+ty-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2-t}{\sqrt{3}}$，1，1），
平面FDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{2-t}{\sqrt{3}}）^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$，
解得t=0或t=4（舍），
∴當(dāng)F與B重合時(shí)，即BF=0時(shí)，使得二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查使得二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$的點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．