Question

17．若任意的實數(shù)a≤-1，恒有-a•2^x+x+3a≥0成立．則實數(shù)x的取值范圍為（log₂3，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)f（a）=a（2^x-3）-x，由題意可得，2^x-3＞0，且f（-1）≤0恒成立，再由g（x）=x+2^x在R上遞增，且g（1）=3，解不等式求交集即可．

解答 解：∵任意的實數(shù)a≤-1，恒有-a•2^x+x+3a≥0成立，
∴任意的實數(shù)a≤-1，恒有（2^x-3）a-x≤0成立，
設(shè)f（a）=（2^x-3）a-x，
則2^x-3＞0，且f（-1）≤0恒成立，
則有x＞log₂3，且3-x-2^x≤0，
由x+2^x≥3，又g（x）=x+2^x在R上遞增，且g（1）=3，
則g（x）≥g（1），解得x≥1．
又x＞log₂3，則有x＞log₂3．
故答案為：（log₂3，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)運用單調(diào)性解題，考查不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．