Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ﹣alnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e2]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，

f（x）= ﹣lnx，f'（x）=x﹣ ，

∵f'（1）=0，f（1）= ，

∴在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y= ；

（Ⅱ）f'（x）= ，

當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增，函數(shù)無(wú)極值；

當(dāng)a＞0時(shí)，在（0， ）時(shí)遞減，在（ ，+∞）時(shí)遞增，函數(shù)的極小值為f（ ）=0；

（Ⅲ）f（x）= ﹣alnx在區(qū)間（1，e2]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

∴y= 與y= 在區(qū)間（1，e2]內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，

令g（x）= ，g'（x）= ，

g（x）在（0，e）遞增，在（e，e2）上遞減，

∴g（e）= ，g（e2）= ，

∴ ∈[ ， ），

∴a∈（ ， ]．

【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出在（1，f（1））的切線斜率，在由點(diǎn)斜式可得到切線方程，（2）對(duì)a進(jìn)行分類討論，得出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值，（3）f（x）= ﹣alnx在區(qū)間（1，e2]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為y= 與y= 在區(qū)間（1，e2]內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn),求導(dǎo)可得出的范圍，從而得到a的范圍.