已知函數(shù)f(x)=ex-1-x.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時(shí),這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.設(shè)g(x)=(f′(x)+1)(x2-1),試問函數(shù)g(x)在(1,+∞)上是否存在保值區(qū)間?若存在,請(qǐng)求出一個(gè)保值區(qū)間;若不存在,請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求f(x)的最小值;
(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)g(x)存在保值區(qū)間[a,b],可得方程(x2-1)ex=x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根.設(shè)φ(x)=(x2-1)ex-x(x>1),證明φ(x)在(1,+∞)上單增,可得φ(x)在區(qū)間(1,+∞)上至多有一個(gè)零點(diǎn),與方程(x-1)2ex=x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根矛盾,即可得出結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),得f'(x)=ex-1.
令f'(x)=0,解得x=0.                 …(2分)
當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù);
當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
故f(x)在x=0處取得最小值f(0)=0.  …(6分)
(Ⅱ)函數(shù)g(x)在(1,+∞)上不存在保值區(qū)間,證明如下:
假設(shè)函數(shù)g(x)存在保值區(qū)間[a,b],
由g(x)=(x2-1)ex得:g'(x)=(x2+2x-1)ex
因x>1時(shí),g'(x)>0,所以g(x)為增函數(shù),所以
g(a)=(a2-1)ea=a
g(b)=(b2-1)eb=b

即方程(x2-1)ex=x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根  …(9分)
設(shè)φ(x)=(x2-1)ex-x(x>1),則φ'(x)=(x2+2x-1)ex-1
因x>1,φ'(x)>0,所以φ(x)在(1,+∞)上單增
所以φ(x)在區(qū)間(1,+∞)上至多有一個(gè)零點(diǎn)      …(12分)
這與方程(x-1)2ex=x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根矛盾
所以假設(shè)不成立,即函數(shù)h(x)在(1,+∞)上不存在保值區(qū)間.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查新定義,考查小時(shí)分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在下列四個(gè)命題中
①y=1是冪函數(shù);
②“x<1”是“x<2”的充分不必要條件;
③命題“存在x∈R,x2-2>0”的否定是:“任意x∈R,x2-x<0”
④若a=-1,則函數(shù)f(x)=ax2+2x-1只有一個(gè)零點(diǎn).
其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有(  )個(gè).
A、4B、2C、3D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足(b-a)(sinB+sinA)=(b-c)sinC,cosC=
3
3
,a=3.
(Ⅰ)求sinB;
(Ⅱ)求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

靖國神社是日本軍國主義的象征.中國人民珍愛和平,所以要堅(jiān)決反對(duì)日本軍國主義.2013年12月26日日本首相安倍晉三悍然參拜靖國神社,此舉在世界各國激起輿論的批評(píng).某報(bào)的環(huán)球輿情調(diào)查中心對(duì)中國大陸七個(gè)代表性城市的550個(gè)普通民眾展開民意調(diào)查.某城市調(diào)查體統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
                    性別
中國政府是否
需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議
問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬
需要 50 250
不需要 100 150
(Ⅰ)試估計(jì)這七個(gè)代表性城市的普通民眾中,認(rèn)為“中國政府需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬”的民眾所占比例;
(Ⅱ)能否有99.9%以上的把握認(rèn)為這七個(gè)代表性城市的普通民眾的民意與性別有關(guān)?
(Ⅲ)從被調(diào)查認(rèn)為“中國政府需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬”的民眾中,采用分層抽樣的方式抽取6人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查,然后在這6人中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取2人進(jìn)行電視專訪,記被抽到的2人中女性的人數(shù)為X,求X的分布列.
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面上的矩形OABC中,|OA|=2,|OC|=
3
,點(diǎn)P,Q滿足
OP
OA
,
AQ
=1(1-λ)
AB
(λ∈R)
,點(diǎn)D是C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),直線DP與CQ相交于點(diǎn)M.
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)若過點(diǎn)F(-1,0)且斜率不為零的直線與點(diǎn)M的軌跡相交于G,H兩點(diǎn),直線AG和AH與定直線l:x=-4分別相交于點(diǎn)R,S,試判斷以RS為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)F?說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,則f(x)的解析式是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若復(fù)數(shù)z1=a+i,z2=1-i(i為虛數(shù)單位),且z1•z2為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2
3
,則雙曲線的離心率e為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列有關(guān)命題的說法正確的是(  )
A、命題“若xy=0,則x=0”的否命題為:“若xy=0,則x≠0
B、命題“矩形是平行四邊形”的否定為真命題
C、命題“若cosx=cosy,則x=y”的逆否命題為真命題
D、命題“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為真命題

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