Question

設(shè)點p（k，m）在以 A（1，2 ）、B（1，0）、C（-1，0）為頂點的三角形周界上運動，求拋物線y=x²-2kx+m 的頂點軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題

分析：求出線段AB、BC、AC的方程，求出拋物線的頂點坐標，由點p（k，m）在線段上得到k與m的關(guān)系，代入拋物線頂點坐標的參數(shù)方程消參后得答案．

解答： 解：∵A（1，2 ）、B（1，0）、C（-1，0），
則線段AB方程為：x=1（0≤y≤2），線段BC方程為：y=0（-1≤x≤1），
線段AC方程為：y=x+1（-1≤x≤1）．
拋物線y=x²-2kx+m 的頂點坐標為（k，m-k²），
即

x=k y=m-k2

  ①
當點p（k，m）在線段AB上時，k=1，0≤m≤2，代入①得x=1（-1≤y≤1），
∴拋物線y=x²-2kx+m 的頂點軌跡方程為x=1（-1≤y≤1）；
當點p（k，m）在線段BC上時，m=0，-1≤k≤1，代入①得

x=k y=-k2

，(-1≤k≤1)，
整理得：y=-x² （-1≤x≤1）；
當點p（k，m）在線段AC上時，m=k+1（-1≤k≤1），代入①得：

x=k y=1+k-k2

，(-1≤k≤1)，即y=-x²+x+1（-1≤x≤1）．
綜上，當點p（k，m）在線段AB上時，拋物線y=x²-2kx+m 的頂點軌跡方程為x=1（-1≤y≤1）；
當點p（k，m）在線段BC上時，拋物線y=x²-2kx+m 的頂點軌跡方程為y=-x² （-1≤x≤1）；
當點p（k，m）在線段AC上時，拋物線y=x²-2kx+m 的頂點軌跡方程為y=-x²+x+1（-1≤x≤1）．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了消參法求曲線方程，是有一定難度題目．