Question

在某平原上有一塊低洼地區(qū)，一條地下河從最低點(diǎn)A處與大海連通，最低點(diǎn)A處海拔高度為1米，該地區(qū)過海平面的垂線AB的任意一個(gè)剖面與地面的交線均為相同的雙曲線段MN，B為所在雙曲線的中心（如圖）．由于溫室效應(yīng)，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4厘米．據(jù)此推算，到2050年底該地區(qū)將有10千米²水面面積．請你推算，到2100年底該地區(qū)將有多大的水面面積？（提示：低洼水面是一個(gè)圓，圓的面積公式為s=πr²）

Answer 1

分析：首先由題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出在所建坐標(biāo)系下的雙曲線方程為y2-

x2

b2

=1，根據(jù)題意，即到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使該地區(qū)有水面面積10千米²，相當(dāng)于知道了雙曲線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，整體代入雙曲線方程后可求b²，即雙曲線的方程可求，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米，在雙曲線方程中把y代4整體求出πx²的值即可．

解答：解：選擇海平面與剖面的交線為x軸，A，B所在直線為y軸，B為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，

據(jù)題意可設(shè)曲線方程為y2-

x2

b2

=1①，
可知到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使該地區(qū)有水面面積10千米²，
即當(dāng)y=2時(shí)，πx²=10⁷，代入①得，b2=

107

3π

．
故雙曲線方程為y2-

3πx2

107

=1②，
照此推算，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米．
把y=4代入②得，πx²=50×10⁶．
所以該地區(qū)在2100年底將有水面面積50千米²．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的應(yīng)用，考查了整體運(yùn)算思想，解答此題的關(guān)鍵在于讀懂題意，是中檔題．