Question

設(shè)a為一非零實(shí)數(shù)，則方程x³+x²-x+a=0．

    ①有三個(gè)負(fù)根；

    ②有二個(gè)負(fù)根和一個(gè)正根；

    ③有一個(gè)負(fù)根和二個(gè)正根；

    ④有三個(gè)正根；

    ⑤僅有一個(gè)實(shí)根．

    以上情形可能成立的有___________.

Answer 1

答案：②③⑤

【解析】令f(x)=-x³-x²+x，則f′(x)=-3x²-2x+1，

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況列表如下：

x	()	-1	(-1,)		(,+)
f′(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以f(x)在區(qū)間(-1，)內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間(-∞，-1)，(，+∞)內(nèi)為減函數(shù)．

函數(shù)f(x)在x₁=處取得極大值f()，

且f()=．

函數(shù)f(x)在x₂=-1處取得極小值f(-1)，且f(-1)=-1．

由此可得當(dāng)a＞或a＜-1時(shí)，方程f(x)=a僅有一個(gè)實(shí)根，即命題⑤正確；

當(dāng)a∈(-1，)時(shí)方程f(x)=a有三個(gè)實(shí)根，且必有一個(gè)小于-1的實(shí)數(shù)根和一個(gè)大于正根，另一個(gè)根在共間(-1，)內(nèi)，即得可能正確的有②③．

故可能成立的有②③⑤．