Question

已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（-3，0），（1，0），且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析：解法一：設(shè)函數(shù)為交點(diǎn)式，利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，可得函數(shù)解析式；
解法二：設(shè)函數(shù)為頂點(diǎn)式，利用函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），可得函數(shù)解析式．

解答：解法一：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（-3，0），（1，0），
∴可設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
展開(kāi)，得 y=ax²+2ax-3a，
頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 

-12a2-4a2

4a

=-4a，
由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，
∴|-4a|=2，即a=±

1

2

．
所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=

1

2

x2+x-

3

2

，或y=-

1

2

x2-x+

3

2

．
解法二：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（-3，0），（1，0），
∴對(duì)稱軸為直線x=-1．
又頂點(diǎn)到x軸的距離為2，
∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或-2．
于是可設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+1）²+2，或y=a（x+1）²-2，
由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），
∴0=a（1+1）²+2，或0=a（1+1）²-2．
∴a=-

1

2

，或a=

1

2

．
所以，所求的二次函數(shù)為y=-

1

2

（x+1）²+2，或y=

1

2

（x+1）²-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．