Question

如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，B，P為單位圓上不同的點，∠AOB=θ，∠AOP=2θ，0≤θ≤π．
（Ⅰ）當θ為何值時，？
（Ⅱ）若，則當θ為何值時，點Q在單位圓上？

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知，，
∵，
∴（cosθ-1）sin2θ=sinθ•cos2θ，
∴sinθ=sin2θ，sinθ≠0，
∴cosθ=，又因為0≤θ≤π，所以．
（Ⅱ）設Q（x，y），則，
又∵=（cosθ+1，sinθ），
∴，
∴（cosθ+1）²+sin²θ=1，
∴，又0≤θ≤π，
∴θ=．
分析：（Ⅰ）由題意知，=（cosθ-1，sinθ），=（cos2θ，sin2θ），利用共線向量坐標間的關系即可求得θ；
（Ⅱ）設Q（x，y），則=（cosθ+1，sinθ），由點Q在單位圓上得（cosθ+1）²+sin²θ=1，結合0≤θ≤π即可求得θ．
點評：本題考查圓的參數(shù)方程，著重考查共線向量坐標間的關系及點在單位圓上，其坐標滿足圓的方程的應用，屬于中檔題．