Question

14．某企業(yè)在2015年年底共有職工2000人，本年企業(yè)利潤為3000萬，從2016年起計(jì)劃每年利潤增加100萬，職工每年凈增a人，設(shè)從2016年起的第x年（2016年為第一年）該企業(yè)人均利潤為y萬元．
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）今后為使企業(yè)人均利潤每年都是增長，那么該企業(yè)每年人口的凈增不能超過多少人？

Answer 1

分析 （1）依題意得第x年該企業(yè)的總利潤為（3000+100x）萬元，而該企業(yè)第x年的人口總數(shù)為（2000+ax）人，進(jìn)而得到答案；
（2）為使該企業(yè)的人均利潤年年都有增長，則在x＞0時(shí)，y=f（x）為增函數(shù)．進(jìn)而可得200000-3000a＞0，結(jié)合實(shí)際意義可得答案．

解答 解：（1）依題意得第x年該企業(yè)的總利潤為（3000+100x）萬元，
而該企業(yè)第x年的人口總數(shù)為（2000+ax）人，
∴y=$\frac{3000+100x}{2000+ax}$…（5分）
（2）為使該企業(yè)的人均利潤年年都有增長，
則在x＞0時(shí)，y=f（x）為增函數(shù)．
設(shè)1≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3000+100{x}_{1}}{2000+a{x}_{1}}$-$\frac{3000+100{x}_{2}}{2000+a{x}_{2}}$=$\frac{（200000-3000a）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（2000+a{x}_{1}）（2000+a{x}_{2}）}$＜0，…（9分）
∴200000-3000a＞0．
∴a＜$\frac{200000}{3000}$≈66.7
∴a_max=66．
∴該企業(yè)每年人口的凈增不能超過66人．

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．