Question

18．若函數(shù)y=f（x）在實(shí)數(shù)集R上的圖象是連續(xù)不斷的，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x存在常數(shù)t使得f（t+x）=tf（x）恒成立，則稱y=f（x）是一個(gè)“關(guān)于t函數(shù)”．現(xiàn)有下列“關(guān)于t函數(shù)”的結(jié)論：
①常數(shù)函數(shù)是“關(guān)于t函數(shù)”；
②“關(guān)于2函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；
③f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x是一個(gè)“關(guān)于t函數(shù)”．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的定義結(jié)合“關(guān)于t函數(shù)”的定義和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①對(duì)任一常數(shù)函數(shù)f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，
即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），
∴常數(shù)函數(shù)是“關(guān)于t函數(shù)”，故①正確，
②“關(guān)于2函數(shù)”為f（2+x）=2•f（x），
當(dāng)函數(shù)f（x）不恒為0時(shí)，有$\frac{f（2+x）}{f（x）}=2＞0$，
故f（x+2）與f（x）同號(hào)．
∴y=f（x）圖象與x軸無交點(diǎn)，即無零點(diǎn)．故②錯(cuò)誤，
③對(duì)于f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x設(shè)存在t使得f（t+x）=tf（x），
即存在t使得（$\frac{1}{2}$）^t+x=t（$\frac{1}{2}$）^x，也就是存在t使得（$\frac{1}{2}$）^t（$\frac{1}{2}$）^x=t（$\frac{1}{2}$）^x，
也就是存在t使得（$\frac{1}{2}$）^t=t，此方程有解，故③正確．
故正確是①③，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．