Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，證明：f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
（2）若常數(shù)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），求證：方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]必有一根屬于（x₁，x₂）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用已知只要判斷△=b²-4ac＞0；
（2）購造函數(shù)F（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，判斷F（x₁）×F（x₂）＜0即可．

解答： 證明：∵f（1）=0，∴a+b+c=0，又a＞b＞c，故a＞0，c＜0，∴ac＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
∴f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．
（2）設(shè)F（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則F（x₁）×F（x₂）=[f（x₁）-

1

2

（f（x₁）-

1

2

f（x₂）]×[f（x₂）-

1

2

f（x₁）-

1

2

f（x₂）]
=

1

2

[f（x₁）-f（x₂）]

1

2

[f（x₂）-f（x₁）]=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴方程F（x）=0在（x₁，x₂）上必有一個(gè)實(shí)根，
即方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]必有一根屬于（x₁，x₂）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)問題以及根的存在性定理的運(yùn)用．