Question

 設(shè)A₁、A₂與B分別是橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左、右頂點與上頂點，直線A₂B與圓C：x²＋y²＝1相切．

(1) 求證：＋＝1；

(2) P是橢圓E上異于A₁、A₂的一點，若直線PA₁、PA₂的斜率之積為－，求橢圓E的方程；

(3) 直線l與橢圓E交于M、N兩點，且＝0，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

 (1) 證明：已知橢圓E：＝1(a>b>0)，

A₁、A₂與B分別為橢圓E的左、右頂點與上頂點，

所以A₁(－a，0)，A₂(a，0)，B(0，b)，

直線A₂B的方程是＋＝1.

因為A₂B與圓C：x²＋y²＝1相切，

所以＝1，

即＋＝1.

(2) 解：設(shè)P(x₀，y₀)，則直線PA₁、PA₂的斜率之積為kPA₁·kPA₂＝＝－，，所以b²＝a².結(jié)合＋＝1，得a²＝4，b²＝.所以橢圓E的方程為＋＝1.

(3) 解：設(shè)點M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

① 若直線l的斜率存在，設(shè)直線l為y＝kx＋m，由y＝kx＋m代入＝1，得＋＝1.化簡得(b²＋a²k²)x²＋2a²kmx＋a²m²－a²b²＝0(Δ>0)．∴  x₁x₂＝，y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝＋m²＝.因為＝0，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0.代入得(a²＋b²)m²－a²b²(1＋k²)＝0.結(jié)合(1)的＝1，得m²＝1＋k².圓心到直線l的距離為d＝＝1，所以直線l與圓C相切．

② 若直線l的斜率不存在，設(shè)直線l為x＝n.代入＝1，得y＝±b.∴  |n|＝b·，

∴  a²n²＝b²(a²－n²)．解得n＝±1，所以直線l與圓C相切．