如圖所示,在直角坐標系xOy中,點P到拋物線C:y2=2px(p>0)的準線的距離為.點M(t,1)是C上的定點,A,B是C上的兩動點,且線段AB被直線OM平分.
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面積的最大值.
解:(1)由題意知得
(2)由(1)知M(1,1),
直線OM的方程為y=x,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為Q(m,m).
由題意知,
設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0).
由
得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,
故k·2m=1,
所以直線AB的方程為y-m=(x-m),
即x-2my+2m2-m=0.
由消去x,
整理得y2-2my+2m2-m=0,
所以Δ=4m-4m2>0,
y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.
從而|AB|=·|y1-y2|=·.
設(shè)點P到直線AB的距離為d,
則d=.
設(shè)△ABP的面積為S,則
S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.
由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.
令u=,0<u≤,則S=u(1-2u2).
設(shè)S(u)=u(1-2u2),0<u≤,則S′(u)=1-6u2.
由S′(u)=0,得u=∈,
因此S(u)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以S(u)max=S=.
故△ABP面積的最大值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:當x>0時,f(x)=2010x+log2010x,則在R上方程f(x)=0的實根個數(shù)為( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在拋物線y=x2+ax-5(a≠0)上取橫坐標為x1=-4,x2=2的兩點,過這兩點引一條割線,有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5x2+5y2=36相切,則拋物線頂點的坐標為( )
(A)(-2,-9) (B)(0,-5)
(C)(2,-9) (D)(1,-6)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在直角坐標系xOy中,有一定點A(2,1),若線段OA的垂直平分線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,則該拋物線的準線方程是 .
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