Question

（2011•聊城一模）已知函數(shù)f(x)=sin(2ωx-

π

6

)-4sin2ωx+a，(ω＞0)，其圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為π，
（1） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2） 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值為-

3

2

，求函數(shù)f（x），（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用[0，

π

2

]求出函數(shù)的最小值，結(jié)合已知函數(shù)的最小值為-

3

2

，求出a的值，即可得到函數(shù)f（x），（x∈R）的解析式，易求函數(shù)的值域．

解答：解：（1）f(x)=sin(2ωx-

π

6

)-4sin2ωx+a=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-4×

1-cos2ωx

2

+a
=

3

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx-2+a=

3

sin(2ωx+ 

π

3

)-2+a
由已知得函數(shù)f（x）的周期T=π即

2π

2ω

=π
所以ω=1，f（x）=

3

sin(2x+

π

3

)-2+a．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ    k∈Z，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ    k∈Z
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]    k∈Z．
（2） 當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，sin(2ωx+

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
這時(shí)f（x）的最小值為：a-

7

2

，由已知得，a-

7

2

=-

3

2

，a=2，所以函數(shù)f（x）=

3

sin(2x+

π

3

)，（x∈R）
函數(shù)法（x）的值域[-

3

，

3

]．

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡，二倍角公式的應(yīng)用，注意函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的應(yīng)用，基本函數(shù)的單調(diào)性是解好本題的關(guān)鍵．